4. Kapitel: Verwandte Probleme der Regelung einer Kreuzung

4.1 Grüne Wellen für Strassenzüge

Soll ein Strassengebiet ausschliesslich möglichst vielen Autos Raum bieten, müssen seine Kreuzungen nicht untereinander koordiniert werden. Soll es aber möglichst rasch durchfahren werden können, dann müssen die Kreuzungen zu Grünen Wellen verbunden werden. Natürlich gelänge es uns, eine Reihe nahe beisammen liegender Kreuzungen zu koppeln, auch wenn jede Kreuzung für sich geregelt würde. Vorausgesetzt natürlich, sie verfügten über einen Synchronisations-Mechanismus, wie wir ihn am Beispiel des Heimplatzes gesehen haben – auf ein generelles Einführen von Brems- und Anfahr-Strafen der Teilnehmer für den Algorithmus wollen wir auch hier verzichten. Aber warum soll man nicht die ständige Rahmen-Vorgabe einer Grünen Welle dazu benutzen, die Komplexität einer reinen Regelung mit unabhängigen, jedoch gekoppelten Algorithmen einzuschränken und eine Regelung mit nur einem Algorithmus von niedrigerer Komplexität suchen?

Im wesentlichen gehen drei Parameter in eine Suche nach den optimalen Phasenlagen einer Grünen Welle ein [Zackor et al., 1991]:

der Abstand der einzelnen Kreuzungen untereinander,

die Progressionsgeschwindigkeit der Fahrzeuge von Kreuzung zu Kreuzung und

die Umlaufzeit des Phasenplans, entweder von aussen gegeben oder frei und als Resultat der Berechnungen.

Es gibt eine Reihe von Arbeiten, die sich mit dem Auffinden eines optimalen Phasenplans für ein Gebiet mit koordinierten Kreuzungen auseinandersetzen, wie in der Einleitung vorgestellt. Es entstehen dadurch sogenannte "Stadtfahrpläne", mit denen ziemlich genau die Reisezeiten zwischen zwei Punkten des Strassennetzes geschätzt werden kann. Meist ist ein Programm zur Planung der Phasen das Resultat.

Grüne Wellen haben grosse Bedeutung in Gebieten von Kreuzungen mit fixen Umlaufzeiten der Signal-Bilder. Wenn öffentlicher Verkehr mit Vortritt solche Achsen kreuzen soll, ist aber auch hier dynamische Regelung nötig.

4.1.1 Wann lassen sich Grüne Wellen realisieren?

Befindet sich ein Teilnehmer auf der Achse einer Grünen Welle in ungestörter Fahrt, so kann er jede Kreuzung, welcher er sich nähert, ungehindert bei Grün passieren. Dies hat zur Folge, dass kein Zeitverlust durch Bremsen und Anfahren der Fahrzeuge entsteht und das System somit besser ausgelastet werden kann. Man bemerkt jedoch, dass Grüne Wellen die Kapazität eines Strassenabschnittes herabsetzen, denn das Band (der zeitliche und räumliche Bereich, in welchem sich die Fahrzeuge einer Welle befinden) neigt dazu, sich zu dehnen, je länger die Fahrzeuge ungehindert fahren können⁴². Es sollte darum zwischen Verminderung der Auslastung durch das Strecken der Kolonne und Gewinn an Auslastung durch Vermeidung von Halten das beste Verhältnis gefunden werden; daraus folgt eine optimale Distanz, während welcher eine Grüne Welle sinnvoll ist. Am Ende dieser Distanz muss die Kolonne halten und wieder zusammenrücken. Für die weiteren Betrachtungen wollen wir den Streckungs-Effekt aber vernachlässigen.

Fahrzeuge, welche die Achse verlassen wollen, müssen bei der Ausfahrt Wartezeiten in Kauf nehmen. Fahrzeuge, welche von aussen kommend die Achse mitbenutzen wollen, müssen bei der Einfahrt und mindestens an der für sie ersten Ampel der Achse auch Wartezeiten in Kauf nehmen. So soll sich eine Grüne Welle verhalten.

Nehmen wir an, wir möchten ein Gebiet mit fixem Umlaufzyklus steuern, so dass auf gewissen Achsen Grüne Wellen entstehen.

In einem ersten Schritt muss der Verkehrsfluss im Mittel auf allen Strassen des Systems gemessen werden.

Dann legen wir die Achsen fest, auf denen Grüne Wellen herrschen sollen.

Und schliesslich berechnen wir die Grünzeit-Aufteilung proportional zu den Flüssen und die Versatzzeiten der Phasen gemäss den Reisezeiten zwischen den Kreuzungen.

Die Berechnung der Grünen Welle basiert auf statistischen Angaben. So können je nach Verkehrsaufkommen verschiedene Signalprogramme notwendig sein, welche auch die Achsen der Grünen Welle anders legen können.

Beliebig frei in der Wahl der Achsen für die Grünen Wellen ist man aber nicht. Zur Veranschaulichung dieses Verhaltens diene ein kleines Beispiel: es wird eine Hauptverkehrsstrasse angenommen, die in beiden Richtungen befahren werden kann. Sie werde von zwei anderen Strassen gekreuzt, und die Kreuzungen seien in einem Abstand zueinander, der die beiden nicht zu einer eng gekoppelten Kreuzung verschmelzen lässt, wie dies beim Heimplatz der Fall war. Der Hauptverkehrsstrasse sollen Grüne Wellen in beiden Richtungen zugedacht werden.

Abbildung 74: die Darstellung einer Grünen Welle in einer Fahrtrichtung

Nur in einer Richtung ist eine Grüne Welle jederzeit möglich. Abbildung 74 zeigt in einem Diagramm, wie sich das Band der Grünen Wellen örtlich verschiebt und wann die entsprechenden Kreuzungen der bevorzugten Strasse Grün geben müssen. Auch in beide Richtungen können Grüne Wellen gleichzeitig laufen, aber aus dieser Vorgabe folgt eine Zykluszeit. Nur ganzzahlige Bruchteile dieser Zykluszeit sind als Umlaufzeit für beide Kreuzungen wählbar. Abbildung 75 zeigt links die Steuerung einer Grünen Welle mit der Zykluszeit als Umlaufzeit und rechts mit der halben Zykluszeit. Wohl kann die Umlaufzeit auch länger als die Zykluszeit gewählt werden, jedoch nur unter Preisgabe der gleichzeitigen Grünphase in die Gegenrichtung bei einer der Kreuzungen.

Abbildung 75: Grüne Wellen in beide Fahrtrichtungen mit zwei Kreuzungen

Kommt nun noch eine dritte Kreuzung über die Hauptverkehrsstrasse dazu, so ist eine Grüne Welle nur noch dann möglich, wenn

die Abstände zwischen allen Kreuzungen gleich sind oder

die Abstände einen grössten gemeinsamen Teiler haben, der ungleich 1 ist, so dass verschiedene Bruchteile der beiden, aus den Distanzen folgenden Zyklen gleich lang sein können. Allerdings müssen die entstehenden Umlaufzeiten auch realisierbar sein: sind sie nämlich zu kurz, wird die Steuerung der Kreuzung durch zu häufige Zwischenzeiten ineffizient.

Abbildung 76: Grüne Wellen in beide Fahrtrichtungen mit mehr als zwei Kreuzungen

Grüne Wellen einzelner Abschnitte schliessen sich leider meist gegenseitig aus. Trotzdem aber können Grüne Wellen gelegt werden, wenn man zu Kompromissen bereit ist:

man optimiert zwischen Verlust durch schlechte Ausnützung von Kreuzungen gegenüber dem Verlust durch das Anhalten eines Teils der Fahrzeuge,

man reduziert die Anzahl Grüner Wellen, legt sie nur in eine Richtung und macht die Achsen eventuell Tageszeit-abhängig.

Ändert sich nichts an der Topologie der Achsen, sondern nur an den Flüssen, so kann die Achse im gegebenen Rahmen geregelt werden – als ganzes gesehen, wie eine einzelne Kreuzung. Lässt die erste Kreuzung den Verkehr in die Achse fliessen, so ist das Verhalten der folgenden Kreuzungen gegeben. Es obliegt dem Regler, für die erste Kreuzung die Lage der Grünphasen optimal festzulegen und die nachfolgenden Kreuzungen dem Verkehrsaufkommen gemäss zu koordinieren.

4.1.2 Dynamische Grüne Wellen

Zweierlei Problemen wollen wir uns hier widmen:

Wie kann eine Grüne Welle verändertem Verkehrsaufkommen angepasst werden; und wie kann sie auf Messungen des einzelnen Teilnehmers reagieren?

Wie müssen sich Grüne Wellen verhalten, wenn sie von bevorzugtem öffentlichem Verkehr gekreuzt werden?

Es ergeben sich daraus besondere zusätzliche Bedingungen für den Regelalgorithmus.

Verdünnung des Flusses

Die Tatsache, dass Verkehr an verschiedenen Stellen in die Achse und aus der Achse fliesst, hat drei Konsequenzen:

Die Längen der Grünphasen aller Ampeln auf derselben Achse können nicht gleich sein, sondern hängen vom zufliessenden und abfliessenden Verkehr ab. Dieser Fluss ist, lokal gesehen, nicht konstant, verhält sich aber, über längere Zeiten betrachtet, nach statistischen Mustern. Die Flüsse können als Verkehrsmengen für die nahe Zukunft vorausgesagt werden.
Die Grünphasen bei fixer Phasensteuerung enden immer zum selben Zeitpunkt (damit auch das letzte Fahrzeug ungehindert passieren kann), welcher vom vorhergehenden Signal um die Reisezeit eines Fahrzeuges zwischen den Ampeln verschoben ist (Versatzzeit); für den Anfang der Grünphase muss dies nicht gelten.
Es geht Zeit für die Phase der Achse einer Grünen Welle verloren, wenn in einem Punkt Verkehr von der Achse abfliesst, denn der Verkehrsstrom auf der Achse wird dünner, und es entstehen ungenützte (jedoch nur kurze) Lücken. Zur Vermeidung solcher Lücken muss die Phasenlänge demjenigen Verkehrsfluss entsprechen, welcher auf der Achse über die Kreuzung fliesst und nicht demjenigen, welcher auf die Kreuzung zufliesst. Eine solche Anpassung hat zur Folge, dass die letzten Autos der Welle das Signal bereits rot vorfinden können.

Länge und Lage von Grünphasen müssen dem örtlichen Verkehrsaufkommen angepasst werden, um jede Kreuzung bestmöglich auszulasten. Dabei ist die Länge der Grünphase auf der Achse der Grünen Welle bestimmend. Sie kann bei schlechter Nutzung verkürzt werden. Folgende Regeln sind für das Verkürzen von Grünphasen zu beachten:

1. Das Anhalten der letzten Fahrzeuge einer Welle lohnt sich nur dann, wenn dadurch mehr Zeit gewonnen werden kann, als durch die Verlängerung der nächsten Grünphase wegen des verzögernden Anfahrens der abgebremsten Fahrzeuge entsteht, wenn also gilt:

s · n · d = n · a (48)

mit den Grössen:

n Anzahl abgetrennter und angehaltener Autos

d Durchfahrzeit eines Autos

a Anfahrzeit eines Autos

s Streckung der Durchfahrzeit durch Fluss-Verdünnung: .

Das Anhalten der hinteren Fahrzeuge lohnt sich also nur, wenn für die Fluss-Verdünnung s = a/d gilt, das heisst, wenn viele Autos die Achse verlassen.

2. Das Verzögern der ersten Fahrzeuge einer Welle ist nur dann in Betracht zu ziehen, wenn die Verzögerung der Fahrzeuge, welche auf der Achse bleiben, – und damit ihre längere Durchfahrzeit über die Kreuzung – nicht grösser als die Zeit ist, welche durch die verkürzte Phase gewonnen wird, also:

s · n · d = n · b (49)

mit b als Zeitverlust durch Bremsen der vorderen Teilnehmer.

Das Verzögern der vorderen Fahrzeuge bringt nur dann Nutzen, wenn für die Fluss-Verdünnung s = b/d gilt, das heisst, wenn wenige Autos die Achse verlassen.

Abriss des Flusses

Reisst der Fluss auf einer Zufahrt ab (was durch ein Hindernis auf der Strasse hervorgerufen werden kann), so können die Längen der Phasen angepasst werden, wenn der Abriss früh genug über Detektoren erkannt werden kann.

Der Takt der Grünen Welle gibt die Zeiten vor, während denen eine Spur grün sein muss, sofern Fahrzeuge vorhanden sind. Ansonsten kann ein lokaler Regler die Spuren beliebig schalten. Eine solche Art der Koordination haben wir, mit kleinen Unterschieden, bereits im Zusammenspiel zweier eng gekoppelter Kreuzungen kennengelernt.

Vortritt für den öffentlichen Verkehr

Kreuzt öffentlicher Verkehr eine Grüne Welle, so ist der Zeitpunkt meist nicht genügend lange vorhersehbar, als dass bereits am Anfang der Grünen Welle der Zyklus angepasst werden könnte. Das Kreuzen entspricht also einer unvorhersehbaren Störung.

In einer Grünen Welle will man vermeiden, dass sich Staus zwischen den Ampeln bilden. Fordert aber ein Tram die Kreuzung B für sich, entsteht unweigerlich ein Stau für die kreuzenden Autos. Da durch Anhalten und Anfahren der Autos Zeit verloren geht, sollen möglichst wenige Autos zum Anhalten gezwungen werden, und möglichst nur ein Mal.

Ist das Verhältnis Grün- zu Rotzeit einer Grünen Welle klein (so dass Staus sich nicht über mehrere Bänder fortpflanzen können, siehe Abbildung 77, und es sei nur eine Fahrtrichtung betrachtet), muss die unterbrochene Phase der Kreuzung B nach dem Passieren des Trams (a) wieder aufgenommen werden, bis alle nun angestauten Autos durchgefahren sind. Um die nachfolgenden Kreuzungen immer noch gut auszulasten, muss das Grün der nächsten Ampel verzögert werden (b). Die vorhergehenden Kreuzungen müssen die eingeschobene Rotphase ebenfalls befolgen, wenn nicht genügend Stauraum vor der nächsten Kreuzung vorhanden ist (c), sonst nicht (d).

Abbildung 77: Verschiebung eines einzelnen Grünbandes

Liegen die Grünbänder zeitlich dicht beieinander (das Verhältnis Grün- zu Rotzeit ist gross, siehe Abbildung 78), so kann sich die Störung über mehrere Bänder fortpflanzen, bis der Zustrom neuer Autos hat dosiert werden können (e). Auch der Ausfall einer Querphase kann zum Regulieren verwendet werden (f).

Die Koordination der Querphasen der beiden Grünen Wellen kann mit beschränkter Freiheit dadurch geschehen, wann die Querphasen der beiden gestörten Grünen Wellen eingefügt, gelängt oder gekürzt werden.

Abbildung 78: Verschiebung zweier Grünbänder

Verändertes Verkehrsaufkommen ändert einerseits global die Breite der Grün-Bänder, andererseits lokal die Grün- und Rotzeitpunkte, je nach augenblicklichem Zu- oder Abfluss (der von den Detektoren gemessen wird), jedoch im Rahmen der Bänder der Grünen Welle. Kreuzender öffentlicher Verkehr kann Phasen zusammenlegen oder ausfallen lassen.

⁴² benötigt eine Kolonne in voller Fahrt bei einer ersten Kreuzung beispielsweise 10s, um sie vollständig zu überfahren, so kann es für die nächste Kreuzung bereits 13s dauern, da die Kolonne sich ganz allmählich streckt